Автор: flammmable
Про РЧ/СВЧ для программистов: теорема Найквиста — Шеннона в картинках (часть 2)
...продолжение
Сложности с сигналами сложной формы
Когда одна из синусоид артефакта совпадёт по частоте с исходной синусоидой?
Очевидно, когда n−1 станет равен единице.
Это, в свою очередь будет, в случае n=2, то есть, когда частота дискретизации окажется равной удвоенной частоте исходной синусоиды.
Что будет, если мы понизим частоту дискретизации ещё сильнее?
В общем, примерно всё то же самое: из двух синусоид будет получаться некая фигура, отличающаяся по форме от базовой синусоиды, но проходящая ровно по точкам дискретизации:
Это возвращает нас к вопросу:
если мы хотим по данным дискретизации восстановить именно ту синусоиду, которую мы измеряли, что именно нам нужно будет дополнительно знать, чтобы сделать это однозначно?
В общем случае нам нужно приблизительно знать её частоту.
И если частота дискретизации была больше, чем удвоенная частота синусоиды, то мы можем восстанавливать самый низкочастотный пик — не ошибёмся.
А если она была меньше, то можно задаться некоторым интервалом, в котором точно не будет пиков от артефактов.
Низкочастотные артефакты и оригинальный сигнал в спектре
Проговаривая это, мы оставляем за скобками ещё два дополнительных факта о сигнале:
что он — одиночная синусоида
и что он — единственный сигнал в нашем измерительном тракте.
То есть, помимо его примерной частоты, мы гарантированно знаем его форму.
И гарантированно знаем, что кроме него других сигналов в измерительном тракте на момент дискретизации не было.
Представим, что у нас чуть более сложный сигнал. Скажем, несколько гармоник от меандра. Но при этом мы сделаем вид, будто не знаем, что сигнал — именно меандр.
Напомню, меандр раскладывается в ряд Фурье так:
sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5+sin(7x)/7+sin(9x)/9+...
Допустим, у нас первые три слагаемых. Что мы увидим на спектре, если будем менять частоту
дискретизации?
Сигнал сложной формы и его артефакты
Высокочастотные составляющие сигнала тоже образуют артефакты в виде пары пиков, но эти пики, очевидно, «расставлены» шире.
При этом, так как мы договорились, что не знаем точную форму сигнала, мы не можем, например, «вырезать» его составляющие многополосным фильтром.
В такой ситуации нам придётся выбрать такую частоту дискретизации, чтобы пик артефакта от самой высокочастотной составляющей базового сигнала не оказался в области с пиками от настоящих составляющих.
Эта частота будет равна удвоенной частоте самой высокочастотной составляющей дискретизируемого сигнала.
Здесь есть тонкий момент.
Иногда эта фраза трактуется ошибочно как: «мне необходимо лишь добиться частоты дискретизации 2f, чтобы однозначно восстановить все интересующие меня составляющие любого сложного сигнала вплоть до f».
Посмотрим на спектр настоящего меандра:
Спектр меандра
У меандра бесконечное количество составляющих.
И если мы хотим однозначно восстанавливать первые три составляющие, нам мало взять частоту дискретизации, равную 2×(5×f).
Нам ещё нужно, чтобы сигнал перед дискретизацией не имел составляющих с частотой выше, чем та, которую мы собираемся восстанавливать.
Ещё раз.
Если у исходного сигнала возможно наличие составляющих выше тех, которые вам интересны, необходимо их отфильтровать перед дискретизацией. То есть гарантировать отсутствие высокочастотных составляющих.
В противном случае артефакты от этих высокочастотных составляющих будут восстановлены
вперемешку с полезным сигналом.
Теорема Найквиста — Шеннона и как её обходят
Итак.
Теорема Найквиста — Шеннона гласит, что сигнал с конечным по частоте спектром можно однозначно восстановить, если частота дискретизации в два и более раза превышает самую
высокочастотную составляющую сигнала.
Когда теорема Найквиста — Шеннона ошибается?
При условиях, оговорённых в теореме, и при отсутствии дополнительных данных — никогда.
Однако, во‑первых, как уже было сказано, для чистой синусоиды, при отсутствии иных сигналов в измерительном тракте мы можем ограничить частотный диапазон с двух сторон и
подобрать период дискретизации так, чтобы ложные пики оказались за рамками этого диапазона.
Во‑вторых, мы, заранее зная частоту и/или форму сигнала, можем между реально измеренными точками добавить ещё точек путём, например, линейной интерполяции.
В ряде случаев мы разменяем небольшое искажение формы сигнала на весомое указание при восстановлении сигнала, какие составляющие мы считаем настоящими.
В‑третьих, заранее зная частоту периодического сигнала (либо имея триггер, некий однозначный признак начала очередного периода), этот сигнал можно «нарезать» на периоды и наложить их друг на друга вместе с замерами. В результате количество замеров на период увеличится.
Equivalent‑Time Sampling
Такая техника называется Equivalent‑Time Sampling и применяется, например, в цифровых осциллографах.
Надеюсь, этот обзор позволил кому‑нибудь пережить инсайт и преодолеть порог непонимания такого базового элемента в сфере РЧ/СВЧ, как теорема Найквиста — Шеннона.
Комментировать
Подробнее https://reactor...