Введение
Эта статья – продолжение двух предыдущих статей об оценке совокупного риска портфеля облигаций. В первой части я рассмотрел использование биномиального распределения для оценки вероятности нескольких дефолтов по облигациям в портфеле, а во второй части при помощи этого распределения определил разумные пределы диверсификации. Перед тем как переходить к статье, выдвинем гипотезу и примем некоторые допущения.
Исходная гипотеза: диверсификация портфеля по десяти высокорисковым облигациям (от ВВВ- до В-) позволит получить доходность значительно выше среднерыночной (>5% к безрисковой) при удержании их на протяжении трех лет.
Допущение №1: предполагается, что вероятности дефолтов различных эмитентов – не связанные между собой величины (я считаю, что если связь и есть, то она проявила себя статистически и уже заложена в риске).
Допущение №2: в случае дефолта по облигации держатель теряет все вложенные в нее средства. То есть облигация не продается за бесценок, но и долги по ней не выплачиваются, как например в случае с RU000A106SK2
Допущение №3: облигации покупаются и удерживаются до погашения в течение трех лет, все купоны реинвестируются в эту же облигацию. Дефолт по облигации может произойти в любой день в течение трех лет, и он приводит к потере как первоначально инвестированных средств, так и реинвестированных купонов.
Почему формула Бернулли неудобнаНа практике формулу Бернулли использовать проблематично из-за ее ограничений: если мы формируем портфель из двух облигаций (обозначим их A и B), одна из которых с рейтингом «В» с вероятностью дефолта 14,7%, а другая «ВВ+» с вероятностью 10,7%, то вероятностное пространство будет выглядеть следующим образом:
Вероятность дефолта по облигации А и успешного погашения по облигации В составит:
Вероятность успешного погашения облигации А и дефолта по облигации В составит:
Вероятность успешного погашения обеих облигаций:
А вероятность дефолта сразу по двум облигациям:
Как видите, из-за разного уровня риска расчет вероятности получить требуемый уровень доходности усложняется – вместо одного расчета нужно делать четыре. И это только при двух облигациях в портфеле. Если облигаций с разным уровнем риска будет три, то пространство вероятных событий увеличится до восьми – нужно будет рассчитать вероятности:
А для 40 облигаций все варианты даже страшно представить. Поэтому можно подойти к решению проблемы с другой стороны – собрать модель портфеля, состоящего из различных облигаций с разной доходностью и разным риском, но одинаковым сроком погашения, и провести имитацию на основе имеющихся данных, а результат проанализировать статистическими методами. Подобный подход получил название «метод Монте-Карло». Давайте разбираться как он работает.
Для этого случайным образом отберем десять облигаций разных эмитентов. Были выбраны следующие облигации с примерно одинаковым сроком погашения (за исключением Сегежи, в отношении нее предполагаем, что доходность к досрочному погашению будет аналогична доходности к погашению), вот они:
№ |
Имя |
Тикер |
Лет до |
Доходн |
Рейтинг |
Риск |
1 |
RU000A10EJR5 |
2.95 |
26.08% |
BB+ |
8.55% |
|
2 |
RU000A10AS02 |
2.9 |
22.95% |
BBB- |
7.04% |
|
3 |
RU000A10EMJ6 |
2.8 |
26.40% |
BB+ |
8.55% |
|
4 |
RU000A10E6S8 |
3 |
29.26% |
BBB- |
7.04% |
|
5 |
RU000A10BQH7 |
2.8 |
25.99% |
BBB- |
7.04% |
|
6 |
RU000A105SP3 |
3 |
28.39% |
BB- |
12.49% |
|
7 |
RU000A10B2M3 |
2.9 |
24.34% |
BB |
10.36% |
|
8 |
RU000A108CE5 |
2.9 |
26.08% |
BB+ |
8.55% |
|
9 |
RU000A108KV2 |
3 |
35.31% |
BB- |
12.49% |
|
10 |
RU000A10E9M5 |
2.8 |
27.99% |
B |
17.90% |
Предположим, мы распределяем наши средства в равных долях между облигациями, то есть по 10% на каждую, и в течение трех лет реинвестируем купоны обратно под ту же ставку. Как нам вычислить будущую доходность портфеля?
Средняя ожидаемая доходность портфеля вычисляется по средневзвешенному среднему:
Где
YTMi – доходность i облигации
wi – доля облигации в портфеле.
В нашем случае ожидаемая доходность составляет 27,28% без учета риска. Неплохой портфель! Но не все так просто. Давайте смоделируем какие риски несет в себе этот портфель при помощи метода Монте-Карло. Для этого подготовим эксель-файл с горизонтальной таблицей:
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
10 |
11 |
14 |
Тикер |
RU000A10EJR5 |
RU000A10AS02 |
RU000A10EMJ6 |
RU000A10E6S8 |
RU000A10BQH7 |
RU000A105SP3 |
RU000A10B2M3 |
RU000A108CE5 |
RU000A108KV2 |
RU000A10E9M5 |
BB+ |
BBB- |
BB+ |
BBB- |
BBB- |
BB- |
BB |
BB+ |
BB- |
B |
|
26.08% |
22.95% |
26.40% |
29.26% |
25.99% |
28.39% |
24.34% |
26.08% |
35.31% |
27.99% |
|
Риск |
8.55% |
7.04% |
8.55% |
7.04% |
7.04% |
12.49% |
10.36% |
8.55% |
12.49% |
17.90% |
Вероятность успеха |
91.45% |
92.96% |
91.45% |
92.96% |
92.96% |
87.51% |
89.64% |
91.45% |
87.51% |
82.10% |
И проведем симуляцию того, как наш портфель будет себя вести все 3 года. Для этого сгенерируем случайные числа по известному нам распределению риска при помощи штатных средств Excel и получаем вот такую картину. Верхняя таблица – исходные данные. Нижняя – возможные варианты развития. Представьте, что в момент формирования портфеля мир распался на 10 000 различных параллельных миров, в каждом из которых под влиянием неопределенности реализовался свой сценарий. Выглядеть это будет вот так если в сценарии единица – значит успех, облигация была успешно погашена. Если ноль – в какой-то из трех годов владения произошел дефолт и унес с собой не только первоначальный капитал, но и все реинвестированные в нее купоны. В результате получаем вот такой файл данных (для наглядности дефолты подсвечены красным)
Как видите в каком-то из возможных миров в портфеле был один дефолт, в каком-то два, а иногда и три. Наша задача – определить, как чаще всего заканчивался исход инвестирования в эти облигации. Для этого сделаем следующее: подсчитаем количество денег, которое мы получим в конце владения портфеля.
Сделаем это по следующей формуле:
Для облигации RU000A10E6S8 это значение составит:
То есть каждый вложенный в эту облигацию рубль превратится в два рубля шестнадцать копеек через три года, если облигация будет погашена и в 0 рублей, если произойдет дефолт).
Для расчета того, какой суммой мы будем располагать в каждом из сценариев применим эту формулу, но вместо PV будем использовать долю в портфеле.
Тогда будущая сумма денег в каждом сценарии составит:
Где:
YTMi – доходность к погашению i-той облигации
n – кол-во лет (3 года)
wi – доля облигации в портфеле
result – результат случайного исхода
Далее приведем доходность к годовому проценту по формуле:
И получаем вот такую табличку с итоговым столбцом результатов:
Остается проанализировать ее статистическими методами и понять, насколько целесообразно вкладываться в такой портфель.
Проанализировав полученный интервал получаем данные по эксцессу и асимметричности, которые равны 1,86 и -1,11. Дальше можно не проверять, видно что распределение не является нормальным из-за дискретности. Слишком малое количество облигаций дают дискретный ряд и не позволяют перейти к непрерывным величинам. Поэтому ограничимся группировкой данных и анализом гистограмм:
В начале я не зря писал, что ожидаемая доходность без учета риска составляет 27,28%. Что же получается с учетом вероятности дефолтов?
В пяти случаев из десяти тысяч доходность оказалась отрицательной, значит дефолтов было столько, что сумма полученного капитала оказалась ниже первоначально инвестированной и никакие купоны это не перекрыли. Это «черные лебеди».
671 результат закончился с результатом менее 14% годовых (включая те пять случаев, где инвесторы теряли капитал). То есть в 6,7% случаев доходность портфеля оказалась ниже доходности ОФЗ. Вот где слезы рынка!
В 1960 случаях доходность составила от 14 до 18%. Немного, но уже что-то.
В 3 876 случаях доходность оказалась в диапазоне от 20 до 27%. Неплохой результат, но шансы его получить не очень велики, всего 38,76%.
И только в 3 493 случаев инвесторы получили ту самую «ожидаемую» доходность в размере 27%. Лишь каждый третий инвестор.
ВыводИсходная гипотеза не подтверждается. Шансы получить высокую доходность (>5% к безрисковой) составляют ~73,69%, что крайне мало. Если подобным образом диверсифицировать портфель, то каждый четвертый инвестор не достигнет запланированных результатов. Нужно увеличивать количество бумаг в портфеле и снова проверять целесообразность. Читайте об этом в следующей статье.
Понравилось? Ставьте лайки и мы продолжим формировать устойчивые высокодоходные портфели.
Подробнее https://smart-lab....